C Pascal Üçgeni. Matematiksel işlemlerde çok sık karşılaşılan ifadelerden biri (x+y) n. Genellikle bu ifadedeki x ve y herhangi iki sayı, n ise bir tam sayı dır. Bu ifadenin eşitini bulmanın en basit yolu n tane (x+y) terimini birbiriyle çarpmaktır. Fakat n’nin büyük olduğu durumlarda bu işlemi yapmak çok uzun sürer. Pascal Üçgeni, Matematikte binom katsayılarını barındıran üçgensel dizidir.Fransız matematikçi Blaise Pascal tarafından keşfedilmiştir. Blaise Pascal bin altı yüz yirmi üç ile bin altı yüz altmış iki yılları arasında yaşamış, Torricelli deneyi üzerine eserler yazmış ve bir hesap makinesi icat etmiş ünlü bir düşünürdür. Pascalözdeşliği. Pascal yasası ile karıştırılmamalıdır. Matematikte, Pascal özdeşliği binom katsayılarıyla ilgili kombinasyonel bir özdeşliktir. Bu özdeşliğe göre her n doğal sayısı için, burada binom katsayısı olarak adlandırılır. Pascal özdeşliği şu şekilde de yazılabilir: PascalÜçgeni ve Binom Açılımı. Hintli matematikçiler ona Meru Dağı’nın merdivenleri der. İran’da Hayyam Üçgeni olarak bilinir. Çin’de ise Yang Hui’nin Üçgeni adı verilir. Batı dünyası da onu genelde Pascal Üçgeni olarak tanır. Binom Açılımı. Bilinen özdeşlikler vardır bunlar; (x + y) 1 = x + y Blaise Pascal, Fransız matematikçi ve filozof. 19 Haziran1623 ‘te dünyaya geldi, 19 Ağustos1662 ‘de yaşamını kaybetti. Pascal, halen küçük yaşta kendisini gösteren dehalardandır. Henüz 12 yaşındayken, hiç geometri bilgisine sahip olmadığı halde, daireler ve eşkenar üçgenler çizmeye başlamış, bir üçgenin iç cash. Matematiksel işlemlerde çok sık karşılaşılan ifadelerden biri x+y işlemlerde çok sık karşılaşılan ifadelerden biri x+yn. Genellikle bu ifadedeki x ve y herhangi iki sayı, n ise bir tam sayıdır. Bu ifadenin eşitini bulmanın en basit yolu n tane x+y terimini birbiriyle çarpmaktır. Fakat n'nin büyük olduğu durumlarda bu işlemi yapmak çok uzun sürer. Binom açılımı olarak bilinen bir yöntem ile bu ifadenin eşiti çok daha kolay bir şekilde bulunabilir. İfadenin eşiti açık olarak yazıldığı zaman bütün terimler a+b=n olmak üzere, xayb şeklinde olacaktır. Bu terimlerin katsayılarına binom katsayıları denir. Genel olarak binom açılımı şu şekilde ifade edilebilir Bu ifadedeki katsayıların değeri ! faktöriyel işlemi olmak üzere, şöyle bulunabilir Örneğin n=2 olduğu zaman binom açılımı katsayıları 1, 2 ve 1 olur. Bu x+y2 = x2 + 2xy + y2 anlamına gelir. n küçük olduğu zaman ifadenin eşitini bulmak için terimleri birbiriyle çarpmak da pratik bir yol olabilir, fakat n büyük olduğu zaman binom açılımını kullanmak çok daha kolaydır. Üstelik binom katsayılarını hesaplamak için yukarıdaki formülü kullanmaktan çok daha pratik bir yol var. Öncelikle birinci ve sonuncu katsayıların her zaman 1 olduğuna dikkat edin. Şimdi, yan kenarları alt alta yazılmış 1'lerden oluşan bir üçgen yapın bkz. alttaki şekil. Daha sonra her satırda yan yana bulunan iki sayının altındaki satıra ve sayıların ortasına bu sayıların toplamını yazın. Örneğin ikinci satırda iki tane 1 yan yana durduğu ve iki tane 1'in toplamı 2 olduğu için üçüncü satırın ortasına 2 yazın. Benzer şekilde, yukarıdan aşağıya doğru giderek üçgenin içini doldurmaya devam edin. Bu üçgenin her bir satırındaki sayıları incelediğiniz zaman sırasıyla belirli bir n değerine karşılık gelen tüm binom sayılarını bulacaksınız. Örneğin ikinci satırdaki 1, 1 sayıları n=1'e karşılık gelen katsayılar, dördüncü satırdaki 1, 3, 3, 1 sayıları ise n=3'e karşılık gelen katsayılardır. Pascal üçgeni olarak adlandırılan bu üçgeni kullanarak tüm binom katsayıları hesaplanabilir. Böylece binom açılımı yapmak çok kolaylaşır. Pascal üçgeninin pek çok ilginç özelliği var. Bunlardan biri Pascal üçgeninin simetrik olmasıdır. Üçgenin ortasına dikey bir simetri ekseni çizerseniz, bu simetriyi kolayca görebilirsiniz. Örneğin beşinci satırdaki 4'ler, altıncı satırdaki 10'lar ve yedinci satırdaki 15'ler bu eksene göre simetriktir. Pascal üçgeninin diğer bir özelliği satırlarındaki sayıların toplamının 2'nin kuvvetlerini vermesidir. Bunun doğruluğunu binom açılımında x ve y yerine 1 koyarak görebilirsiniz. Ayrıca satırlardaki sayıları yan yana tek bir sayı gibi okursanız 11'in kuvvetlerini bulursunuz. Bunun doğruluğu ise binom açılımında x=1, y=10 yazılarak görülebilir. Örneğin üçüncü satırdaki 1, 2, 1 sayıları bir araya getirildiğinde 11'in ikinci kuvveti olan 121 sayısını verir. Dördüncü satırdaki sayıların bir araya getirilmesi ile elde edilen 1331 sayısı ise 11'in üçüncü kuvvetidir. Katsayıların tek basamaklı olmadığı durumlar ise biraz daha karmaşıktır, fakat bu durumlarda da ufak bir çaba ile 11'in kuvvetleri bulunabilir. Pascal üçgenini kullanarak Fibonacci sayıları da bulunabilir. Fibonacci serisi ilk iki terimi 1 olan bir seridir. Bu serinin elemanları olan Fibonacci sayıları ise kendinden önceki iki sayının toplamına eşittir. Örneğin bu serinin ilk birkaç elemanı şunlardır 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Bu serideki 8 sayısı kendinden önceki iki sayının 3 ve 5 toplamıdır. Aynı şekilde 34 sayısı da 13'ün ve 21'in toplamıdır. Pascal üçgeninden aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi diyagonal parçalar alırsanız, her parçadaki sayıların toplamının Fibonacci sayılarını verdiğini göreceksiniz. Pascal üçgeninde bulunabilecek diğer sayılar üçgen sayılarıdır. Sadece noktalar kullanarak üçgen şekilleri yapmaya çalıştığınızı düşünün. Önce üçgenin tepesi için bir nokta, sonra bu noktanın altına üçgen oluşturacak şekilde iki nokta, daha sonra bu noktaların altına üç nokta, ... Her bir üçgeni yapmak için kullandığınız noktaların sayısı üçgen büyüdükçe 1, 3, 6, 10,... olarak devam eder. Bu sayıları Pascal üçgeninin ikinci iç diyagonalinde bulabilirsiniz. Bir başka özellik Mersenne sayıları ile ilgilidir. 1'den ve kendisinden başka böleni olmayan sayılara asal sayılar denir. Mersenne sayıları ise n bir tam sayı olmak üzere, 2n-1'e eşit olan sayılardır ve n bir asal sayı olduğu zaman bu sayılar da birer asal sayı olur. Örneğin bir asal sayı olan 3'e karşılık gelen Mersenne sayısı 23-1=7'dir. Benzer şekilde 5'e karşılık gelen Mersenne sayısı 25-1=31'dir. Pascal üçgenini herhangi bir satırdan böler ve yukarıda kalan üçgendeki tüm sayıları toplarsanız Mersenne sayılarını verdiğini göreceksiniz. Pascal üçgeninin yukarıda anlatılan tüm özellikleri ve daha başkaları binom katsayılarının değerleri kullanılarak ispatlanabilir. Siz de yukarıda saydığımız özellikleri kendiniz ispatlamaya çalışabilirsiniz. Pascal üçgeni ile ilgili ilginç başka özelliklere ise aşağıdaki bağlantı adresini kullanarak ulaşabilirsiniz. Bilim Genç web sitesinde yayınlanan yazı, haber, video, fotoğraf, çizim ve animasyonların her türlü hakkı TÜBİTAK’a aittir. İzin alınmadan, kaynak gösterilerek dahi olsa alıntı yapılamaz, kopyalanamaz ve başka yerde yayınlanamaz. Pascal Üçgeni nedir ve özellikleri?En dikkat çekici sayı modellerinden biri de Pascal üçgenidir. Pascal üçgeni, aşağıda bulunan sayıyı elde etmek için yukarıdaki iki sayıyı toplama kuralını izleyen, hiç bitmeyen bir eşkenar üçgendir. İki kenarı her zaman birdir. Üçgen sonsuza kadar devam eder yani istendiği kadar Üçgeni nedir ne işe yarar?Pascal üçgeni, matematikte binom katsayılarını içeren üçgensel bir dizidir. … Satırdaki sayılar komşu sütunlarının boşluklarına gelir ve bu basit yapı tüm üçgen boyunca sürer. 0. satıra yalnızca 4 değeri yazılır. Sonraki satırlar oluşturulurken, hesaplanan noktanın sol üstünde ve sağ üstünde bulunan değerler Üçgeni ve binom açılımı nedir kısaca?Matematiksel işlemlerde çok sık karşılaşılan ifadelerden biri x+yn. Örneğin n=2 olduğu zaman binom açılımı katsayıları 1, 2 ve 1 olur. … Bu x+y2 = x2 + 2xy + y2 anlamına eşitliği nedir?Pascal Özdeşliği Pascal üçgeninde bir satırdaki iki elemanın toplamının alt-ortalarındaki elemana eşit olduğunu biliyoruz. … nr + nr+1 = n+1r+1 eşitliğine Pascal özdeşliği açılımı ilk kim buldu?Hayyam doğum tarihi konusunu araştırmış ve tam tarihi ortaya koymuştur. Matematik anlamında, binom açılımını da bulmuştur. binom teoerimini ve bu açılımdaki katsayıları bulan ilk kişi olduğu düşünülmektedir. Pascal üçgeni diye bildiğimiz şey aslında bir Hayyam üçgenidir .Üçgeni ilk kim buldu?İlk yazılı ispat Euclides'e aittir. 33 PASCAL ÜÇGENİ Pascal üçgeni, matematikte binom katsayılarını içeren üçgensel bir dizidir. Fransız matematikçi Blaise Pascal'ın soyadıyla anılsa da Pascal'dan önce Hindistan, İran, Çin, Almanya ve İtalya'da matematikçiler tarafından birimi nedir?Pascal paskal, metrik sistemin basınç birimidir. Adını Fransız bilim insanı Blaise Pascal'dan alır. Çok kullanılan çoklu birimle hectopascal 1 hPa ≡ 100 Pa, kilopascal 1 kPa ≡ 1000 Pa ve megapascal 1 MPa ≡ Pa'dır. 23 Eylül 2016 Cuma Pascal Özdeşliği ve Pascal Üçgeni 10SINIF KONU ANLATIM Oluşturulma Tarihi Mart 04, 2022 1445Çoğu insan Pascal üçgeni ile gelişigüzel görünen bir dizi kural aracılığıyla tanışır. Blaise Pascal, 1653'te, bugün Pascal Üçgeni olarak bilinen Aritmetik Üçgen Üzerine İnceleme'yi yazdı. Peki, Pascal üçgeni nedir tüm detayları ile Üçgeni bir tür sayı kalıbıdır. Pascal Üçgeni, herhangi bir iki terimli ifadenin açılımındaki katsayıları veren sayıların üçgen şeklinde düzenlenmesidir. Pascal Üçgeni Nedir? Pascal Üçgeni bir sayı kalıp türü olarak bilinir. Rakamlar üçgen şeklinde yansıyacak şekilde düzenlenmiştir. İlk olarak en üste 1 yerleştiriyoruz ve ardından sayıları üçgen şeklinde yerleştirmeye başlıyoruz. Her adımda elde ettiğimiz sayılar, yukarıdaki iki sayının toplamıdır. Üçgen sayılar kavramına benzer. Üçgeni oluşturmanın en kolay yolu sıfırdan başlamak ve sadece bir numarayı yazmaktır. Oradan, aşağıdaki satırlardaki sayıları elde etmek için, sayının hemen üstündeki ve solundaki sayıyı, üstündeki sayıyla ve sağındaki sayıyı eklemek gerekir. Sol veya sağ tarafta herhangi bir sayı yoksa eksik olan sayı sıfırlanır ve toplama işlemine devam edilir. Pascal üçgeni çeşitli olasılık koşullarında kullanılabilir. Diyelim ki parayı bir kez atıyorsak, sonuç almak için sadece iki olasılık vardır. Yazı ya da Tura'dır. Eğer iki kez atarsak, o zaman hem yazı hem tura gelmesinin bir olasılığı vardır, ancak en az Yazı veya Tura almanın iki olasılığı vardır. Pascal'ın Üçgen Modelleri; Satırların Toplanması Üçgenin ilginç özelliklerinden biri, bir satırdaki sayıların toplamının 2 n'ye eşit olmasıdır. n, satırın sayısına karşılık gelir 1 = 1 = 2 0 1 + 1 = 2 = 2 1 1 + 2 + 1 = 4 = 2 2 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2 3 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2 4 Üçgendeki Asal Sayılar Üçgende görülen bir diğer örüntü asal sayılarla ilgilidir. Bir satır bir asal sayı ile başlıyorsa veya asal numaralı bir satır ise, o satırdaki tüm sayılar 1'ler hariç o asal sayıya bölünür. 5. satıra 1 5 10 10 51 bakarsak, 5 ve 10'un 5'e bölünebildiğini görebiliriz. Ancak, 8. satır gibi bileşik numaralı bir satır için 18 28 56 70 56 28 8 1, 28 ve 70 8'e tam bölünemez. Üçgende Fibonacci Dizisi Pascal üçgeninin köşegenlerindeki sayılar toplanarak Fibonacci dizisi elde edilebilir. Fibonacci sayılarını Pascal üçgeninde göstermenin çeşitli yolları vardır. R. Knott, Pascal üçgeninde "satırların" toplamı olarak görünen Fibonacci'yi bulabildi. Tüm satırları tek bir yere taşıdı ve burada sütunların toplamı Fibonacci sayılarını temsil edecekti. Pascal Üçgeni Özellikleri Nelerdir? Her sayı, üstündeki iki sayının toplamıdır. Dış sayıların hepsi 1'dir. Üçgen simetriktir. İlk köşegen sayma sayılarını gösterir. Satırların toplamı 2'nin kuvvetlerini verir. Her satır 11'in kuvvetlerinin rakamlarını verir. Fibonacci sayıları köşegenler boyunca oradadır. Pascal Üçgeni Formülü ce Binom Açılımı Nedir? Pascal üçgeninin n. satırı ve k. sütunundaki bir elemanın girişini bulma formülü şu şekilde verilir; Aşağıdaki satır ve sütunların öğeleri, aşağıda verilen formül kullanılarak bulunabilir. Burada n, negatif olmayan herhangi bir tam sayıdır ve 0 ≤ k ≤ n'dir. Yukarıdaki gösterim şu şekilde yazılabilir; Bu binom katsayıları elde etme modeline Pascal kuralı denir. Pascal üçgeni, binom açılımlarında görünen katsayıları tanımlar. Bu, Pascal üçgeninin n. satırının, x + y n polinomunun genişletilmiş ifadesinin katsayılarını içerdiği anlamına gelir; Burada a k formunun katsayıları tam olarak Pascal üçgeninin n'inci satırındaki sayılardır. Bu şu şekilde ifade edilebilir; Burada 1, 3, 3, 1 katsayıları pascal üçgeninin 3. satırındaki öğeleri temsil eder. Bu üçgen, Pascal'ın matematiğe katkılarının çoğu arasındaydı. Ayrıca geometride önemli teoremler buldu, olasılık ve hesabın temellerini keşfetti ve ayrıca Pascaline hesap makinesini icat etti. Yine de, en çok Pascal üçgenine katkılarıyla tanınır. çömleğe toplar Yazara göre resim Merhaba! Lise öğrencisiyseniz veya birinden yeni geçtiyseniz ve matematik almışsanız, kötü şöhretli “Pascal Üçgeni”ni zaten biliyor olabilirsiniz. Endişelenmeseniz bile göreceğimiz gibi buna üçgen deniyor ve üçgene benziyor ama aslında üçgen değil Bam!. Pascal üçgenine daha önce rastladıysanız, “Pascal'ın Kimliği” hakkında bilginiz olabilir veya olmayabilir, bekleyin. Şimdi siz çocuklar üçgeni ve özdeşliği biliyorsanız, üçgenden türetmenin ne kadar kolay olduğunu da bilirsiniz. Ama çoğunuzun bilmediği şey, hiçbir semaverin boş kalmaması için topları çömleğe yerleştirmeniz gereken kimliği sezgisel olarak nasıl karşılaştırabileceğinizdir! Yani etrafınızda bir üçgen ile ilgili gözle görülür bir şey olmasa da kimliği nerede kullanmanız gerektiğini anında bileceksiniz! Binom Katsayısı ve Pascal Üçgeni Şimdi lütfen bana Binom Teoremini duymadığınızı söylemeyin.. evet evet mümkün ama iyi bilinen a + b² = a² + 2ab +b² formülünü duymuş olabilirsiniz. Binom -adından da anlaşılacağı gibi, 'a' ve 'b' olmak üzere iki anlama gelir. Yani bu a + b² veya say 1 + x³ vb. gibi bir ifadeye parantez içinde iki terim bulunan iki terimli ifade denir. Ve denklemin sağ tarafına - a² + 2ab +b² Binom Genişlemesi denir. Açıkça görebileceğiniz gibi, binom ifadesinin basitleştirilmiş/genişletilmiş halidir. 3 veya 4 binom ifadeyi alalım ve bunların açılımlarını alalım Bazı iki terimli genişleme örnekleri Yazara göre resim Şimdi 1+x⁹ gibi terimlerin iki terimli açılımlarını alırsak hesaplamak elbette mümkün olacaktır ama iki terimli ifadenin gücü arttıkça oturup hesaplamak oldukça zorlaşacaktır. Basitleştirmek için Binom Teoremi denen bir şeye sahibiz. Bununla derinlemesine gitmeyeceğiz, ancak şunu biliyoruz ki, formül, büyük güçler içeren binom katsayılarının genişlemesini gerçekten basitleştirir. Fark ettin mi? Önceki 4 iki terimli açılım örneğinde, her terimin katsayısı bir örüntü izliyormuş gibi görünür. Aynı şey o günlerde Pascal tarafından da fark edildi ve kalıp şu şekilde Pascal Üçgeni Yazara göre resim Artık binom açılımının katsayılarını biliyorsunuz, bir piramit gibi kurulduğunda Pascal üçgenini elde ediyoruz. Ama yine de, genişleme için gerekli binom katsayımızı bulana kadar piramidi toplayarak hesaplamak sıkıcıdır. Dolayısıyla, binom teoreminden katsayı formülünü şu şekilde kullanabiliriz burada r satır numarasıdır yani iki terimli ifadenin gücü. Ayrıca satırın 0'dan başladığını unutmayın. ve n, bu ifade için bulmak istediğiniz n'inci katsayıdır. n'nin de 0'dan başladığını unutmayın. Böylece üçgen şu şekilde görünecektir Kombinatoryal Pascal Üçgeni Yazara göre resim Eğer r'inci satırın n'inci değerinin, r-1'inci satırın n'inci ve n-1'inci değerlerinin toplamı olduğunu fark ettiyseniz, Pascal'ın Kimliği Yazara göre resim Bu, denklemde, r. satırdaki n'inci terimin şöyle olduğunu söyleyebilirsiniz Ve yukarıdaki özdeşliğe, gördüğünüz formüle Pascal'ın Kimliği deniyor. Verilen R özdeş toplar ve N benzersiz çömleği Verilen R özdeş topları, hiçbir urn boş kalmayacak şekilde N benzersiz olarak işaretlenmiş çömleğe dağıtmanın kaç yolu var? Bu sorunu çözmek için Nurların her birine bir top koyarak devam edelim, yani şimdi elimizde RN topları kalsın. Şimdi tüm bu RN topları yere koyarsak ve aralarına/aralarına N-1 çubukları koyarsak, ardışık iki çizgi arasındaki herhangi bir sayıda top bir urn'u temsil eder. Toplar ve Çubuklar Yöntemi Yazara göre resim Yani düzenlenmesi gereken toplam RN + N-1 öğe var. Ancak tüm toplar ve çubuklar aynı olduğundan, düzenlemeyi RN ile böleriz! ve N! Şimdi son kimliğe bak tanıdık gelmiyor mu? Pascal'ın kimliğini kullanarak bunu başka bir şekilde çözmeye çalışalım Bu, hiçbir kavanozun boş olamayacağı düzenlemeler = Toplam düzenleme - A veya, A = Toplam düzenleme - Hiçbir kavanozun boş olamayacağı düzenlemeler = En az bir boş kavanozun bulunduğu düzenleme. yani, A= En az bir boş kavanozun bulunduğu düzenleme. Dolayısıyla, R özdeş toplarının N özdeş olmayan benzersiz çömleğe dizilişlerinin toplam sayısı gibi Pascal kimliğini sunabileceğiniz kanıtlanmıştır. boş. Bu, Kombinatorik'te nispeten yeni olan yeni başlayanlar için biraz karmaşıksa, onlara Binom Teoremi, Güvercin Deliği İlkesi hakkında daha fazla bilgi edinmelerini öneririm İlk başta fikri her çömleğe bir top koymak için kullandık. bu yüzden hiçbir vazo boş kalmaz ve son olarak Yıldızlar ve Çubuklar Tekniği. Do benimle bağlantı yeni bir zaman bildirimleri alabilir bu yüzden benim blog çıktı. O zamana kadar güvende ve sağlıklı kalın!

pascal özdeşliği ve pascal üçgeni